Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

         

Аксиоматический метод


Для древних греков объекты математики имели реальное существование в «мире идей». Некоторые свойства этих объектов представлялись умственному взору совершенно неоспоримыми и объявлялись аксиомами, другие — неочевидные — следовало доказывать, опираясь на аксиомы. При таком подходе не было большой необходимости в точной формулировке и полном перечне всех аксиом: если в доказательстве используется какое-то неоспоримое свойство объектов, то не так уж важно, занесено оно в список аксиом или нет — истинность доказываемого свойства от этого не страдает. Хотя Евклид в своих «Началах» и приводит список определений и аксиом (включая постулаты), он, как мы видели в главе 10, сплошь и рядом использует положения, интуитивно совершенно очевидные, но не входящие в число аксиом. Что же касается его определений, то число их больше, чем число определяемых объектов, и они совершенно непригодны для использования в процессе доказательства. Список определений в первой книге «Начал» начинается следующим образом.

  1. Точка есть то, что не имеет частей.
  2. Линия есть длина без ширины.
  3. Концы линий суть точки.
  4. Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек.

И так далее, всего 34 определения. Швейцарский геометр Ж.Ламберт (1728–1777) заметил по этому поводу: «То, что Евклид предпосылает в таком изобилии опеределения, есть нечто вроде номенклатуры. Он, собственно говоря, поступает так, как поступает, например, часовщик или другой ремесленник, начиная знакомить учеников с названиями орудий своего мастерства».

Тенденция к формализации математики породила тенденцию к уточнению определений и аксиом. Уже Лейбниц обратил внимание на то, что построение Евклидом равностороннего треугольника опирается на положение, которое из определений и аксиом не вытекает (мы разбирали это построение в главе 10). Однако лишь создание неевклидовой геометрии Н.Лобачевским (1792–1856), И.Больяи (1802–1860) и К.Гауссом (1777–1855) повлекло за собой всеобщее признание аксиоматического подхода к математическим теориям как основного метода математики.

Содержание  Назад  Вперед







Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий