Основы теории нечетких множеств
Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества
Показатель размытости нечеткого множества можно определить как меру внутренней неопределенности, двусмысленности объектов множества по отношению к некоторому свойству , характеризующему эти объекты и определяющему в нечеткое множество объектов . Если некоторый объект обладает свойством , но лишь в частичной мере: , то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта по отношению к свойству
проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством ", и классу объектов, "не обладающих свойством ". Эта двусмысленность объекта по отношению к свойству
максимальна, когда степени принадлежности объекта к обоим классам равны, т.е. . И наоборот, двусмысленность объекта минимальна, когда объект принадлежит только к одному из этих классов, т.е. либо , либо ,. Таким образом, глобальный показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала , удовлетворяющего следующим условиям:
P1. , если
является заострением , т.е.
при
при и
любое при
P2.
P3. Если , то
Итак, показатель размытости можно рассматривать как аддитивный, симметричный и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества функционал, определенный на множестве всех нечетких подмножеств множества .
Можно доказать, что вещественный, определенный на функционал является показателем размытости тогда и только тогда, если он допускает представление
где вещественнозначные функции от
такие, что строго возрастает на интервале и — число элементов множества .
Примером коэффициента размытости может служить логарифмическая энтропия нечетких множеств:
где — функция Шеннона
Выбор конкретного показателя зависит от условий задачи. Далее мы покажем, что показатель размытости нечетких множеств может быть задан с помощью метрики. Необходимо обратить внимание на связь между показателем размытости нечетких множеств и неопределенностью, возникающей при принятии решения, к какому из двух классов, "" или "не " , отнести объекты множества . На практике человеку часто приходится принимать подобные решения, когда необходимо отнести объект к одному из двух классов, характеризующихся противоположными свойствами типа: "белый—черный", "пригоден—не пригоден", "нравится—не нравится", "хороший—плохой" и т.п. Такая альтернатива вызывает у лица, принимающего решения, неопределенность, обусловленную тем, что объекты часто обладают сразу обоими противоположными свойствами, хотя и в разной мере. Можно предположить, что показатель этой неопределенности зависит от размытости ситуации, в которой принимается решение. Допускается, что показатель неопределенности решений может удовлетворять тем же свойствам, что и показатель размытости нечетких множеств.
