Основы теории нечетких множеств
Связь показателя размытости с алгебраическими свойствами решетки нечетких множеств
Существование показателя размытости нечетких множеств оказывается тесно связанным со свойствами алгебры нечетких множеств Заде. Для алгебры обычных множеств показатель размытости со свойствами Р1, Р2, Р3 вырождается в тривиальный показатель, всюду равный нулю. Для более общих алгебр такого показателя просто не существует. Укажем соотношения, существующие между произвольными положительными оценками и показателями размытости.
Положительной оценкой на решетке нечетких множеств
называется функция , удовлетворяющая свойству
и условию
Положительная оценка определяет на метрику
Решетка с положительной оценкой и метрикой
называется метрической решеткой нечетких множеств. Метрика называется симметричной, если она удовлетворяет условию
Так как в алгебре нечетких множеств выполняются законы де Моргана, то метрика является симметричной тогда и только тогда, если она определяется симметричной оценкой, т.е. такой оценкой, которая удовлетворяет условию
Теорема. В метрической решетке нечетких множеств функционалы
удовлетворяют свойствам ,,. Они попарно тождественны тогда и только тогда, если положительная оценка симметрична.
Примером симметричной оценки на решетке нечетких множеств может служить энергия нечеткого множества:
которая определяет симметричную метрику
