Основы теории нечетких множеств
Нечеткие треугольные числа
На практике часто используется альтернативное определение нечеткого треугольного числа.
Определение.
Треугольным нечетким числом называется тройка
действительных чисел, через которые его функция принадлежности
определяется следующим образом:
Второе число тройки обычно называют
модой или четким значением нечеткого треугольного числа. Числа и характеризуют степень размытости четкого числа.
Например, на рис. 7.3
изображено нечеткое треугольное число , которое лингвистически можно проинтерпретировать как "около 5" или "приблизительно 5".
Рис. 7.3.
В общем случае при определении нечеткого треугольного числа не обязательно использовать линейные функции. Часто в различных приложениях используются две функции, из которых одна монотонно возрастает на интервале , а другая монотонно убывает на интервале . Однако Купер предложил так называемый landmark-based метод для систем управления, в соответствие с которым монотонности и дифференцируемости данных функций на соответствующих отрезках достаточно для того, чтобы система сходилась и имела единственное решение. Таким образом, без потери общности, каждое нечеткое треугольное число может быть представлено упорядоченной тройкой действительных чисел.
Если и — треугольные нечеткие числа, то, согласно принципу обобщения Заде, нечеткое треугольное число также является треугольным и характеризуется тройкой , где
К сожалению, даже при ограничении нашего виденья нечетких чисел до понятия треугольных чисел, проблемы противоположного, обратного элементов и дистрибутивности остаются нерешенными.
Было предложено ввести некоторые ограничения на вычисление частных случаев вида . Ограничения эти позволяют получить противоположный и обратный элементы. Однако проблема дистрибутивности таким способом не решается. Более того, ограничения кажутся довольно искусственными: чем, к примеру, можно объяснить различие в алгоритмах вычисления и ?
Есть еще один существенный недостаток такого подхода. Размытость произведения зависит не только от размытости сомножителей, но и от того, какое место данные нечеткие числа занимают на числовой оси.
Например, пусть
Тогда и . Число получается гораздо более размытое, чем .
Позднее было предложено другое определение нечеткого числа.
Определение.
Нечетким числом называется пара функций , удовлетворяющих следующим условиям:
- — монотонно возрастающая непрерывная функция;
- — монотонно убывающая непрерывная функция;
Это позволило авторам ввести понятие меры и превратить множество нечетких чисел в топологическое пространство.
Далее была предложена следующая модификация определения нечеткого числа.
Определение.
Для любого нечеткого числа
число
называется локальным индексом числа , две неубывающие непрерывные функции и называются левым и правым индексами нечеткости, соответственно.
Согласно данному определению, каждое нечеткое число может быть представлено следующим образом: .
Далее вводится понятие арифметических операций над нечеткими числами такого вида. Для любых нечетких чисел
и
они определяются следующим образом:
Этот подход позволяет решить проблему дистрибутивности, так как размытость числа для всех четырех операций вычисляется при помощи единственногооператора, который дистрибутивен относительно самого себя (т.е. коммутативен, ассоциативен и идемпотентен).
Несмотря на это преимущество, проблемы противоположного и обратного элементов и при таком подходе остаются нерешенными.
